SIFAT-SIFAT ELEMENTER GRUP TERGENERALISASI

Abstract

Salah satu kajian dalam bidang matematika adalah struktur aljabar, yakni suatu himpunan yang didalamnya didefinisikan suatu operasi biner yang memenuhi aksioma-aksoima tertentu. Suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi oleh satu operasi biner yang memenuhi sifat tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas dan setiap elemen memiliki invers disebut grup. Elemen identitas untuk semua elemen di grup adalah sama, namun terdapat kajian dalam aljabar yang elemen identitasnya bergantung pada setiap elemennya. Konsep ini disebut dengan grup tergeneralisasi yang diperkenalkan oleh Molaei (1999). Penelitian ini bertujuan untuk membuktikan sifat-sifat elementer pada grup tergeneralisasi. Penelitian ini diawali dengan mempelajari definisi yang berkaitan dengan himpunan, relasi, fungsi, grup, subgrup, grup tergeneralisasi dan subgrup tergeneralisasi. Selanjutnya, membuktikan sifat-sifat elementer dari grup tergerenalisasi yaitu elemen identitas sama dengan elemen identitas dari elemen inversnya, identitas dari elemen identitas adalah elemen identitas tersebut, elemen invers adalah tunggal, elemen identitas adalah tunggal. Lebih lanjut membuktikan sifat (a^(-1) )^(-1)=a, membuktikan G adalah grup tergeneralisasi idempotent, membuktikan sifat (ab)^(-1)=b^(-1) a^(-1). Selanjutnya, membuktikan subgrup tergeneralisasi dari grup tergeneralisasi G dan membuktikan irisan H_i dari grup tergeneralisasi G adalah subgrup tergeneralisasi. lebih lanjut, membuktikan G_a merupakan subgrup tergeneralisasi dari G. Kesimpulan dari penelitian ini adalah berlaku sifat elemen identitas sama dengan elemen identitas dari elemen inversnya, identitas dari elemen identitas adalah elemen identitas tersebut, elemen invers adalah tunggal, elemen identitas adalah tunggal. Berlaku sifat (a^(-1) )^(-1)=a, G terbukti grup tergeneralisasi idempotent dan berlaku sifat (ab)^(-1)=b^(-1) a^(-1). H merupakan subgrup tergeneralisasi dari grup tergeneralisasi G, irisan H_i merupakan subgrup tergeneralisasi dan G_a terbukti subgrup tergeneralisasi dari G.